Question

1．在數列{a_n}中，已知a₁=1，前n項和S_n滿足$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，則S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 $S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，可得$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
∴$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，公差為2，首項a₁=1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n=1時也成立．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．