Question

12．已知函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調函數(shù)．若數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₆）=f（a₂₃），則{a_n}的前28項之和S₂₈=（　�。�

• A． 7
• B． 14
• C． 28
• D． 56

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調函數(shù)．可得：函數(shù)f（x）關于直線x=1對稱，數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₆）=f（a₂₃），可得a₆+a₂₃=2．再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）關于直線x=1對稱，
∵數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₆）=f（a₂₃），
∴a₆+a₂₃=2．
則{a_n}的前28項之和S₂₈=$\frac{28（{a}_{1}+{a}_{28}）}{2}$=14（a₆+a₂₃）=28．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式性質及其前n項和公式、函數(shù)的對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．