Question

1．在四棱錐P-ABCD中，△ABC，△ACD都為等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=$\sqrt{2}$，求三棱錐P-BEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)C，利用三角形中位線，得出EF∥AD，可得四邊形EFCB為平行四邊形，BE∥CF，從而BE∥平面PCD；
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB，PB⊥AB，轉(zhuǎn)換底面根據(jù)錐體體積公式算出三棱錐P-BEC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵△ABC與△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DAC=45°，$AC=\sqrt{2}BC，AD=\sqrt{2}AC$，
∴BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD$，（2分）
取PD中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)C，
∵E為PA的中點，
∴EF∥AD，$EF=\frac{1}{2}AD$，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴四邊形EFCB為平行四邊形，
∴BE∥CF．（4分）
又BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．（6分）
（Ⅱ）解：∵$PB=\sqrt{2}，BC=\sqrt{2}，PC=2$，
∴PC²=PB²+BC²，
∴BC⊥PB．（7分）
又BC⊥AB，PB∩AB=B，
∴BC⊥平面PAB．（8分）
∵$PB=AB=\sqrt{2}，PA=2$，
∴PA²=PB²+AB²，
∴PB⊥AB．（9分）
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$．（10分）
∴V_A-BEC=V_C-PBE=$\frac{1}{3}•{S_{△PBE}}•CB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{S_{△PAB}}•CB$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．（12分）

點評 本題給出特殊的四棱錐，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，考查空間想象能力、運算求解能力及推理論證能力，屬于中檔題．