Question

7．各項均為正數的數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=2ⁿ•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）對任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．令n=1，可得：$2{a}_{1}=2{a}_{1}^{2}+{a}_{1}$-1，a₁＞0，解得a₁．n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1），化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$）=0．數列{a_n}的各項均為正數，可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$．利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2^n-1，再利用“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）對任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．令n=1，可得：$2{a}_{1}=2{a}_{1}^{2}+{a}_{1}$-1，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n²+a_n-1-$（2{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}-1）$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$）=0．
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n-a_n-1-$\frac{1}{2}$=0，即a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$．
∴數列{a_n}為等差數列，公差為$\frac{1}{2}$，首項為1．
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$．
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2^n-1，
∴T_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）×2^n-1，
2T_n=2×2+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
兩式相減可得：-T_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）×2ⁿ=1+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（n+1）×2ⁿ=n×2ⁿ，
∴T_n=n×2ⁿ．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．