Question

15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若$\frac{a}=\frac{{b+3\sqrt{3}c}}{a}$，$sinC=2\sqrt{3}sinB$，則tanA=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，分別求得b和c，b和a的關系，最后利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA，則tanA可求得．

解答 解：△ABC中，∵$sinC=2\sqrt{3}sinB$，∴c=2$\sqrt{3}$b．
若$\frac{a}=\frac{{b+3\sqrt{3}c}}{a}$=$\frac{b+3\sqrt{3}•2\sqrt{3}b}{a}$，∴a²=19b²，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+1{2b}^{2}-1{9b}^{2}}{2b•2\sqrt{3}b}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$，∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用．正弦定理和余弦定理是解三角形問題常用公式，應能熟練和靈活運用，屬于中檔題．