Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+2x，g（x）+f（-x）=0．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-l，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）+f（-x）=0，可得g（x）=-f（-x），從而求得g（x）的解析式．
（2）不等式可得2x²-|x-1|≤0，分類討論，去掉絕對值，求得x的范圍．
（3）依題意h（x）=（λ+l）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上單調(diào)遞增，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得λ的范圍．

解答 解：（1）∵g（x）+f（-x）=0，∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x，
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得：2x²-|x-1|≤0，
等價(jià)于 $\left\{\begin{array}{l}x＜1\\ 2{x^2}+x-1≤0\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{{2x}^{2}-x+1≤0}\end{array}\right.$ ②．
解①得x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，解②求得x∈∅，
∴原不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{1}{2}$ }．
（3）依題意h（x）=-（λ+l）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上單調(diào)遞增，
1）當(dāng)λ=-1時(shí)，h（x）=4x+1在[-1，1]上單調(diào)遞增，符合題意．
2）當(dāng)λ≠-1時(shí)，h（x）為二次函數(shù)，對稱軸為x=$\frac{1-λ}{1+λ}$，
當(dāng)λ＜-1時(shí)，圖象開口向上，只需 $\frac{1-λ}{1+λ}$≤-1，解得λ＜-1；
當(dāng)λ＞-1時(shí)，圖象開口向下，只需$\frac{1-λ}{1+λ}$≥1，解得：-1＜λ≤0．
綜上：λ≤0．

點(diǎn)評 本題主要考查求函數(shù)的解析式，絕對值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．