Question

9．已知f（x）=$\frac{3}{x+1}$．各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n）．若a₂₀₁₆=a₂₀₁₈，則a₉+a₁₀的值是$\frac{10}{13}+\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．

Answer 1

分析 由a_n+2=f（a_n）=$\frac{3}{{a}_{n}+1}$，a₁=1，可得a₃=$\frac{3}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，同理可得：a₅，a₇，a₉．由a₂₀₁₆=a₂₀₁₈=a＞0，可得$a=\frac{3}{a+1}$，解得a．可得a₂₀₁₆=a₂₀₁₈=…=a₁₀，即可得出．

解答 解：∵a_n+2=f（a_n）=$\frac{3}{{a}_{n}+1}$，
∵a₁=1，∴a₃=$\frac{3}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，同理可得：a₅=$\frac{6}{5}$，a₇=$\frac{15}{11}$，a₉=$\frac{33}{26}$．
∵a₂₀₁₆=a₂₀₁₈=a＞0，∴$a=\frac{3}{a+1}$，化為a²+a-3=0，解得a=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
∴a₂₀₁₆=a₂₀₁₈=…=a₁₀=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
∴a₉+a₁₀=$\frac{33}{26}$+$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$=$\frac{10}{13}+\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．
故答案為：$\frac{10}{13}+\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列的周期性、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．