Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*都有S_n=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$，若-1＜S_k＜2，則正整數(shù)k的值為2．

Answer 1

分析 由當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-2，可知{a_n}是1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，列不等式，即可求得正整數(shù)k的值．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{2}{3}$a₁-$\frac{1}{3}$，a₁=-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-1-$\frac{1}{3}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-2，
∴{a_n}是1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
a_n=-1（-2）^n-1，
∴S_n=$\frac{-1[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$，
由-1＜S_k＜2，即-1＜-$\frac{1}{3}$[1-（-2）^k]＜2，
-2＜（-2）^k＜7
解得：k=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．