Question

9．已知函數(shù)f（x）=|3^x-1|，a∈[$\frac{1}{3}，1）$，若函數(shù)u（x）=f（x）-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂（x₁＜x₂），υ（x）=f（x）$-\frac{a}{2a+1}$有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₃、x₄（x₃＜x₄），則（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分別求出x₁，x₂，x₃，x₄，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

解答 解：∵u（x）=|3^x-1|-a=0，
∴3^x=1±a，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），
∵υ（x）=|3x-1|-$\frac{a}{2a+1}$=0，
∴3^x=1±$\frac{a}{2a+1}$，
∵x₃＜x₄，
∴x₃=log₃（1-$\frac{a}{2a+1}$），x₄=log₃（1+$\frac{a}{2a+1}$），
∴x₂-x₁+x₄-x₃=log₃ $\frac{（1+a）（1+\frac{a}{2a+1}）}{（1-a）（1-\frac{a}{2a+1}）}$=log₃$\frac{1+3a}{1-a}$=log₃（ $\frac{4}{1-a}$-3），
∵y=log₃（$\frac{4}{1-a}$-3）在a∈[$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，x₂-x₁+x₄-x₃的最小值為1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)，指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．