Question

5．已知數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}，{b_n}={2^{c_n}}$，記數(shù)列{log₂b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足不等式T_n≥2016的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出首項(xiàng)與公差，求出通項(xiàng)公式即可．
（2）利用已知條件求出b_n，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解數(shù)列的和，解不等式，求解n的最小值．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由已知條件有：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=-5}\\{{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，…（2分）
解得：a₁=3，d=-2…（4分）
所以，a_n=a₁+（n-1）d=-2n+5…（6分）
（2）由（1）知：${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}=n，{b_n}={2^{c_n}}={2^n}$…（8分）
所以T_n=log₂b₁+log₂b₂+…+log₂b_n=log₂2+log₂2²+…+log₂2ⁿ
=$1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$…（11分）
T_n≥2016，可得：$\frac{n（n+1）}{2}≥2016$，
n²+n-4032≥0，解得n≥63，滿足不等式T_n≥2016的n的最小值為：63．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列與不等式相結(jié)合，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．