Question

15．如圖，已知橢圓C經(jīng)過點（2，$\sqrt{2}$），且中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F₁（-2，0），直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E、F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點F的坐標為（2，$\sqrt{2}$），求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓標準方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓方程求得A的坐標，結(jié)合F的坐標得E的坐標，寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程．

解答 解：（1）由題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）如圖，F(xiàn)（2，$\sqrt{2}$），E（-2，-$\sqrt{2}$），A（-$2\sqrt{2}$，0），
則AE：$\frac{y+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x+2}{2-2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=-2-$2\sqrt{2}$；
AF：$\frac{y-0}{\sqrt{2}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$2\sqrt{2}-2$．
∴MN的中點坐標為（0，-1），
∴以MN為直徑的圓的方程為x²+（y+1）²=8．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查整體運算思想方法，是中檔題