Question

14．已知函數f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值的和為a．
（1）求a的值；
（2）設函數Φ（x）=log_a$\frac{mx}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，若對任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數y=a^x與y=log_a（x+1）具有相同的單調性，得出f（x）在[0，1]上具有單調性，列出方程f（0）+f（1）=a，求出a的值；
（2）根據任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，轉化為m＞0且m²≤$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，構造函數g（x）=$\frac{\sqrt{1{+x}^{2}}}{x}$，x∈[1，2]，求出g（x）的最小值g（x）_min，由此求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵y=a^x與y=log_a（x+1）具有相同的單調性，
∴f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上單調，
∴f（0）+f（1）=a，
即a⁰+log_a1+a¹+log_a2=a，
化簡得1+log_a2=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）∵函數Φ（x）=log_a$\frac{mx}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
對任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{mx}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$+${log}_{\frac{1}{2}}$m≥0恒成立，
∴${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{{m}^{2}x}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$≥0恒成立，且m＞0；
∴0＜$\frac{{m}^{2}x}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$≤1，
即m²≤$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，
設g（x）=$\frac{\sqrt{1{+x}^{2}}}{x}$，x∈[1，2]，
∴g（x）=$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
當x∈[1，2]時，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}$+1∈[$\frac{5}{4}$，2]；
∴g（x）的最小值是g（x）_min=g（2）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
令m²≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得-$\frac{\root{4}{20}}{2}$≤m≤$\frac{\root{4}{20}}{2}$，
又m＞0，
∴m的取值范圍是0＜m≤$\frac{\root{4}{20}}{2}$．

點評 本題主要考查了指數函數與對數函數的單調性應用問題，也考查了不等式恒成立與函數的最值問題，是綜合性題目．