Question

3．平面上動點M到直線x=-1的距離比它到點F（2，0）的距離少1．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）已知點B（-1，0），設過點（1，0）的直線l與軌跡E交于不同的兩點P、Q，證明：x軸是∠PBQ的角平分線所在的直線．

Answer 1

分析 （1）把直線x=-1向左平移一個單位變?yōu)閤=-2，此時點M到直線x=-2的距離等于它到點（2，0）的距離，即可得到點M的軌跡方程．
（2）將y=k（x-1）代入y²=8x中，得k²x²-（2k²+8）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，證明$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）因為點M到直線x=-1的距離比它到點（2，0）的距離小1，
所以點M到直線x=-2的距離等于它到點（2，0）的距離，
因此點M的軌跡為拋物線，方程為y²=8x．
（2）將y=k（x-1）代入y²=8x中，
得k²x²-（2k²+8）x+k²=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=2+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$，
∴x軸是∠PBQ的解平分線．
k不存在時，結(jié)論同樣成立．

點評 本題考查點M的軌跡方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運用拋物線的定義、根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．