Question

6．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax（a∈R），且曲線f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線與直線y=-$\frac{3}{4}$x-1平行．
（1）求a的值．
（2）若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[-3，$\sqrt{3}$]上有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=x²+a，利用曲線f（x）在$x=\frac{1}{2}$處的切線與直線$y=-\frac{3}{4}x-1$平行，列出方程求解a即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間$[{-3，\sqrt{3}}]$上有三個零點(diǎn)，等價于函數(shù)f（x）在$[{-3，\sqrt{3}}]$上的圖象與y=m有三個公共點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-3，\sqrt{3}}]$上大致圖象求解實(shí)數(shù)m的取值范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²+a（1分）
因?yàn)榍�線f（x）在$x=\frac{1}{2}$處的切線與直線$y=-\frac{3}{4}x-1$平行，
所以$f'（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+a=-\frac{3}{4}$，（3分）
所以a=-1．（4分）
（2）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$，得f'（x）=x²-1，
令f'（x）=0，得x=±1．（6分）
當(dāng)-3＜x＜-1時，f'（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜1時，f'（x）＜0；
當(dāng)$1＜x＜\sqrt{3}$時，f'（x）＞0，
f（x）在（-3，-1），$（1，\sqrt{3}）$單調(diào)遞增，
在（-1，1）單調(diào)遞減．
又$f（-3）=-6，f（-1）=\frac{2}{3}，f（1）=-\frac{2}{3}，f（\sqrt{3}）=0$．（10分）
若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間$[{-3，\sqrt{3}}]$上有三個零點(diǎn)，
等價于函數(shù)f（x）在$[{-3，\sqrt{3}}]$上的圖象與y=m有三個公共點(diǎn)．
結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-3，\sqrt{3}}]$上大致圖象可知，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-\frac{2}{3}，0}]$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力．