Question

已知三角形的三邊為a，b，c，設(shè)p=

1

2

（a+b+c），求證：
（1）三角形的面積S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（2）r為三角形內(nèi)切圓的半徑，則r=

(p-a)(p-b)(p-c) p

．
（3）把邊BC，CA，AB上的高分別記為h_a，h_b，h_c，則．
h_a=

2

a

p(p-a)(p-b)(p-c)

，h_b=

2

b

p(p-a)(p-b)(p-c)

，h_c=

2

c

p(p-a)(p-b)(p-c)

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（1）設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，代入三角形面積公式S=

1

2

absinC，設(shè)p=

a+b+c

2

，則p-a=

-a+b+c

2

，p-b=

a-b+c

2

，p-c=

a+b-c

2

，即可化簡得證．
（2）由（1）可得S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．而又因為S=

r(a+b+c)

2

，結(jié)合上述兩式即可得證．
（3）由三角形面積公式可得S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

1

2

ah_a=

1

2

bh_b=

1

2

ch_c，即可得解．

解答： 解：（1）設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則由余弦定理可得：
cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
S=

1

2

absinC
=

1

2

ab

1-cos2C

=

1

2

ab

1- (a2+b2-c2)2 4a2b2

=

1

4

4a2b2-(a2+b2-c2)2

=

1

4

(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

=

1

4

[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]

=

1

4

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

，①
設(shè)p=

a+b+c

2

，
則p-a=

-a+b+c

2

，p-b=

a-b+c

2

，p-c=

a+b-c

2

，
上式①=

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 16

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
所以，三角形的面積S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（2）根據(jù)海倫公式：三角形的面積S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
而又因為S=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

r(a+b+c)

2

（如下圖所示），

結(jié)合上述兩式：r=

(p-a)(p-b)(p-c) p

，證畢．
（3）∵邊BC，CA，AB上的高分別記為h_a，h_b，h_c，三角形的面積S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
∴S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

1

2

ah_a=

1

2

bh_b=

1

2

ch_c．
∴可解得：h_a=

2

a

p(p-a)(p-b)(p-c)

，h_b=

2

b

p(p-a)(p-b)(p-c)

，h_c=

2

c

p(p-a)(p-b)(p-c)

．

點評：本題主要考查了余弦定理、三角形面積公式，平方差公式的應(yīng)用，計算量較大，屬于中檔題．