Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，在每一個(gè)前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結(jié)果找并集得出不等式的解；
（Ⅱ）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m成立，只需4m-2m²＞f_min（x），解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x+x+2=-x+3，f（x）＞3，即-x+3＞3，解得x＜0，
又x＜-2，∴x＜-2；
當(dāng)$-2≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x-x-2=-3x-1，f（x）＞3，即-3x-1＞3，解得$x＜-\frac{4}{3}$，又$-2≤x≤\frac{1}{2}$，∴$-2≤x＜-\frac{4}{3}$；
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3，f（x）＞3，即x-3＞3，解得x＞6，又$x＞\frac{1}{2}$，∴x＞6．
綜上，不等式f（x）＞3的解集為$（{-∞，\;\;-\frac{4}{3}}）∪（6，\;\;+∞）$．
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x＜-2}\\{-3x-1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{2}$．
∵?x₀∈R，使得$f（{x_0}）＜4m-2{m^2}$，
∴$4m-2{m^2}＞-\frac{5}{2}$，
整理得4m²-8m-5＜0，
解得$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}$．
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-\frac{1}{2}，\;\;\frac{5}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法及分段函數(shù)的應(yīng)用，分情況討論去絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，屬于中檔題．