Question

16．邊長為10cm的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V，表示為x的函數(shù)；
（2）x多大時，方盒的容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

分析 （1）利用長方體的體積計算公式可得：V（x）．
（2）利用導數(shù)的運算法則可得：V′（x）=4（3x-5）（x-5），利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）利用長方體的體積計算公式可得：V（x）=（10-2x）²x，x∈（0，5）．
（2）V′（x）=4（3x²-20x+25）=4（3x-5）（x-5），令V′（x）=0，解得x=$\frac{5}{3}$．
∴x∈$（0，\frac{5}{3}）$時，V′（x）＞0，此時函數(shù)V（x）單調(diào)遞增；x∈$（\frac{5}{3}，5）$時，V′（x）＜0，此時函數(shù)V（x）單調(diào)遞減．
∴x=$\frac{5}{3}$時，函數(shù)V（x）取得極大值，也是最大值，即V$（\frac{5}{3}）$=$（10-2×\frac{5}{3}）^{2}×\frac{5}{3}$=$\frac{2000}{27}$（cm²）．

點評 本題考查了長方體的體積計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．