Question

7．給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f'（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f'（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f''（x）=（f'（x））'．若f''（x）＜0在D上恒成立，則在D上為凸函數(shù)，以下四個(gè)函數(shù)在（0，$\frac{3π}{4}$）上是凸函數(shù)的有（　　）個(gè)
①f（x）=-x³+2x-1；  ②f（x）=lnx-2x；   ③f（x）=sinx+cosx； ④f（x）=xe^x．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)凸函數(shù)的定義，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別判斷即可．

解答 解：①對(duì)于f（x）=-x³+2x-1，f′（x）=-3x²+2，f″（x）=-6x，
當(dāng)x∈（0，$\frac{3π}{4}$）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
②對(duì)于f（x）=lnx-2x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{3π}{4}$）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
③對(duì)于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，
當(dāng)x∈（0，$\frac{3π}{4}$）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
④對(duì)于f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，f″（x）=（x+2）e^x，
當(dāng)x∈（0，$\frac{3π}{4}$）時(shí)，f″（x）＞0，故不是凸函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查凸函數(shù)的定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題．