Question

6．判斷下列命題正確的是②③④
①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$（$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow 0$），則$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$；
②已知向量$\overrightarrow a$=（2，3），$\overrightarrow b$=（3，-4），則$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影為-$\frac{6}{5}$；
③數(shù)列{a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n．若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{3n-2}{5n+1}$，則$\frac{a_5}{b_5}$=$\frac{25}{46}$；
④|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow 0$⇒P為△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 通過舉反例可得①錯(cuò)誤；利用$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影的定義可得②正確；利用等差數(shù)列的定義可得③正確，對(duì)向量等式進(jìn)行變形，可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$（$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow 0$），則不能推出$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$，例如$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$反向且都與$\overrightarrow{c}$垂直時(shí)，故①錯(cuò)誤；
②已知向量$\overrightarrow a$=（2，3），$\overrightarrow b$=（3，-4），設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ，
則$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=|$\overrightarrow{a}$|•$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{6-12}{5}$=-$\frac{6}{5}$，故②正確；
③數(shù)列{a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n．若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{3n-2}{5n+1}$，
則$\frac{a_5}{b_5}$=$\frac{{2a}_{5}}{{2b}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}{+a}_{9}}{_{1}{+b}_{9}}$=$\frac{{S}_{9}}{{T}_{9}}$=$\frac{25}{46}$，故③正確；
④∵|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow 0$，∴|$\overrightarrow{AB}$|•$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CA}$）+|$\overrightarrow{CA}$|•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）=0，
即 $\overrightarrow{PC}$•（|$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{CA}$|）+|$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵||$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$|=||$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$|，∴|$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$ 必與角C的角平分線平行，所以P必然落在角C的角平分線上．
同理，P必然落在角A、B的角平分線上．
所以P是三角形ABC的內(nèi)心，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量等式進(jìn)行變形，等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心的定義，屬于中檔題．