Question

3．已知函數f（x）=e^x，g（x）=kx+k，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [0，1）
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 作出函數的圖象，利用導數的幾何意義求出切線斜率，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：如圖示：
，
若函數f（x）圖象恒在函數g（x）圖象的上方，
即f（x）-g（x）＞0恒成立，即e^x-k（x+1）＞0，
即e^x＞k（x+1），
若k=0，滿足條件，
若k＜0，則不滿足條件．
則當k＞0時，g（x）=k（x+1）過定點（-1，0），
函數f（x）的導數為f′（x）=e^x，
設切點為（a，b），則對應的切線斜率k=f′（a）=e^a，
則對應的切線方程為y-e^a=e^a（x-a），
∵直線過點（-1，0），
∴-e^a=e^a（-1-a），
解得a=0，此時切線斜率k=f′（0）=1，
即此時k=1，
則解得0＜k＜1，
綜上0≤k＜1，
故選：B．

點評 本題主要考查函數圖象關系的應用，利用導數的幾何意義，結合數形結合是解決本題的關鍵．