Question

1．某數(shù)學(xué)興趣小組為了煙瘴視覺和空間能力與性別是否有關(guān)，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30人，女20人），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表所示：（單位：人）

題型 性別	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）從這50名同學(xué)中隨機(jī)選取男生和女生各1人，求他們選做的題不同的概率；
（3）已知選擇做幾何題的8名女生有3人解答正確，從這8人中任意抽取3人對他們的答題情況進(jìn)行研究，被抽取的女生中解答正確的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²=$\frac{50}{9}＞5.024$，根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．
（Ⅱ） 從這50名同學(xué)中隨機(jī)選取男生和女生各1人，先求出基本事件總數(shù)，再求出他們選做的題不同包含的基本事件個數(shù)，由此能求出他們選做的題不同的概率．
（Ⅲ）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有56種，X可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值：
${K^2}=\frac{{50{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}＞5.024$
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．…（3分）
（Ⅱ） 記他們選做的題不同的事件為A，
∵從這50名同學(xué)中隨機(jī)選取男生和女生各1人，
∴他們選做的題不同的概率$P（A）=\frac{{C_8^1C_8^1+C_{22}^1C_{12}^1}}{{C_{30}^1C_{20}^1}}=\frac{41}{75}$…（6分）
（Ⅲ）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有$C_8^3=56$種，
X可能取值為0，1，2，3，
$P（{X=0}）=\frac{C_5^3}{56}=\frac{5}{28}$，…（7分）
$P（{X=1}）=\frac{C_5^2C_3^1}{56}=\frac{15}{28}$，…（8分）
$P（{X=2}）=\frac{C_5^1C_3^2}{56}=\frac{15}{56}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_3^3}{56}=\frac{1}{56}$…（10分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{56}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

…（10分）
∴$EX=0+\frac{15}{28}×1+\frac{15}{56}×2+\frac{1}{56}×3=\frac{63}{56}=\frac{9}{8}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．