Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2（a＞0）
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的
單調區(qū)間；
（2）若對?x∈（0，+∞），都有f′（x）≤（$\frac{x+1}{x}$）²恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記g（x）=f（x）+x-b，當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，再求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求出a的值，從而可得函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）問題轉化為a≤x+$\frac{3}{x}$+2在（0，+∞）上恒成立，根據基本不等式的性質，求出a的范圍即可；
（3）利用導數(shù)的符號求出單調區(qū)間，再根據函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，得到關于b的不等式組，解出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)可得f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，
∴f′（1）=-2+a，
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間為（2，+∞），單調減區(qū)間為（0，2）；
（2）由題意得x∈（0，+∞），都有-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$≤${（\frac{x+1}{x}）}^{2}$恒成立，
即a≤x+$\frac{3}{x}$+2在（0，+∞）上恒成立，∵x＞0，
∴≥2$\sqrt{3}$+2，（當且僅當x=$\sqrt{3}$時取“=”），
∴a≤2$\sqrt{3}$+2，∵a＞0，
∴a∈（0，2$\sqrt{3}$+2]；
（3）依題意得g（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
又因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，
所以$\left\{\begin{array}{l}{g{（e}^{-1}）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2e+\frac{1}{e}-3-b≥0}\\{1-b＜0}\\{\frac{2}{e}+e-1-b≥0}\end{array}\right.$，解得1＜b≤$\frac{2}{e}$+e-1，
所以b的取值范圍是（1，$\frac{2}{e}$+e-1]．

點評 本題考查導數(shù)與曲線上某點的切線斜率的關系，利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間以及函數(shù)的最值．屬于綜合題．