Question

【題目】設定義在上的函數對于任意實數，都有成立，且，當時，．

（1）判斷的單調性，并加以證明；

（2）試問：當時，是否有最值?如果有，求出最值；如果沒有，說明理由；

（3）解關于的不等式，其中．

Answer 1

【答案】（1）在上是減函數，證明見解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）當時，不等式的解集為或，當時，不等式的解集為．

【解析】

試題分析：（1）任意實數，且，不妨設，利用差比較法，計算，所以函數為減函數；（2）在上單調遞減，所以有最大值，有最小值．利用賦值法求出；（3）化簡不等式得，由于為減函數，所以，．由于，或，所以當時，，不等式的解集為或；當時，，不等式的解集為．

試題解析：

（1）在上是減函數，證明如下：對任意實數，且，不妨設，其中，則，

∴．故在上單調遞減．………………4分

（2）∵在上單調遞減，∴時，有最大值，時，有最小值．在中，令，得，

故，，所以．

故當時，的最大值是3，最小值是0．………………6分

（3）由原不等式，得，

由已知有，即．

∵在上單調遞減，∴，∴．………………9分

∵，∴或．

當時，，不等式的解集為或；

當時，，不等式的解集為．………………12分