分析 (1)利用f(x)為兩個(gè)向量的數(shù)量積,結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形得到解析式,然后求對稱軸以及單調(diào)區(qū)間;
(2)求出兩個(gè)和向量的坐標(biāo),平方化簡得到三角函數(shù)值,結(jié)合角度范圍求x值;
(3)將f(x)和g(x)代入化簡,分離c,求出最值.
解答 解:(1)因?yàn)閒(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$(-sin$\frac{x}{2}$)+sin$\frac{3x}{2}$(-cos$\frac{x}{2}$)=-sin($\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$)=-sin2x,
x∈[$\frac{π}{2}$,π].2x∈[π,2π],
所以對稱軸:x=$\frac{3π}{4}$;增區(qū)間:x∈[$\frac{π}{2},\frac{3π}{4}$];
(2)|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$,
所以(cos$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$)2+(sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$)2=3,
整理得sin2x=-$\frac{1}{2}$,x∈[$\frac{π}{2}$,π].
所以2x=$\frac{7π}{6}$或者$\frac{11π}{6}$,
所以x=$\frac{7π}{12}$或者$\frac{11π}{12}$;
(3)g(x)=c-$\sqrt{3}$cos2x,
若對于任意的x∈[$\frac{π}{2}$,π],f(x)<g(x)都成立,
所以-sin2x<c-$\sqrt{3}$cos2x都成立,
即c>$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=2cos(2x+$\frac{π}{6}$),
又2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6},\frac{13π}{6}$],
所以2cos(2x+$\frac{π}{6}$)max=2,
所以c>2;
點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)的恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)以及恒成立問題;正確熟練的進(jìn)行化簡運(yùn)算是解答的關(guān)鍵;屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | -$\frac{1}{4}$ | C. | 2 | D. | ln2 |
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