Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（ I）求k的值；
（ II）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)可得（1-a）•（2^x）²+a•2^x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，令t=2^x＞0，則轉(zhuǎn)化成方程（1-a）t²+at+1=0有且只有一個(gè)正根，同時(shí)滿足a（t-1）＞0，討論結(jié)合△=0，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（ I）∵函數(shù)$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+kx（{k∈R}）$是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），即${log_4}（{{4^x}+1}）+kx={log_4}（{{4^{-x}}+1}）-kx$，
∴${log_4}（{{4^x}+1}）-{log_4}（{{4^{-x}}+1}）=-2kx$，
∴${log_4}（{\frac{{{4^x}+1}}{{{4^{-x}}+1}}}）={log_4}{4^x}=x=-2kx$∴$k=-\frac{1}{2}$．
（ II）由題意可知a•2^x-a＞0①
∵f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)根，
即${log_4}（{{4^x}+1}）-\frac{1}{2}x$=${log_4}（{a•{2^x}-a}）$，
∴${log_4}（{{4^x}+1}）-{log_4}（{a•{2^x}-a}）=\frac{1}{2}x$，
∴${log_4}（{\frac{{{4^x}+1}}{{a•{2^x}-a}}}）=\frac{1}{2}x{\;}^{\;}∴\frac{{{4^x}+1}}{{a•{2^x}-a}}={4^{\frac{1}{2}x}}={2^x}$，
即（1-a）•（2^x）²+a•2^x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，
不妨令t=2^x（t＞0），
則（1-a）t²+at+1=0有且只有一個(gè)正根，同時(shí)滿足a（t-1）＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，t=-1不符合題意（舍），
當(dāng)a≠1時(shí)，考慮函數(shù)h（t）=（1-a）t²+at+1過定點(diǎn)（0，1），（1，2）
當(dāng)1-a＜0即a＞1時(shí)，∵h(yuǎn)（0）=1＞0，h（1）=2＞0，方程有一個(gè)正根t₀∈（1，+∞），且滿足a（t-1）＞0
當(dāng)1-a＞0即a＜1時(shí)，
（1）△=a²-4（1-a）=0，$a=-2±2\sqrt{2}$，此時(shí)h（t）圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)t₀∈（0，1），∴$a=-2+2\sqrt{2}$時(shí)，不滿足a（t-1）＞0（舍）∴$a=-2-2\sqrt{2}$
（2）△=a²-4（1-a）＞0，$a＞-2+2\sqrt{2}$或$a＜-2-2\sqrt{2}$，方程有兩個(gè)正根t₁，t₂∈（0，1），不符合題意（舍）
綜上，a＞1或$a=-2-2\sqrt{2}$∴a的取值范圍為$（{1，+∞}）∪\left\{{-2-2\sqrt{2}}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．