Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點．
（I） 求證：MN∥BC；
（II）若M，N分別為PB，PC的中點，
①求證：PB⊥DN；
②求四棱錐P-ADNM的體積．

Answer 1

分析 （I）由BC∥AD得BC∥平面ADNM，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出BC∥MN；
（II）①由AD⊥AB，AD⊥PA得AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，由PA=AB得AM⊥PB，從而PB⊥平面ADNM，于是PB⊥DN；
②使用勾股定理求出梯形ADNM的上下底和高及PM的長，代入體積公式計算即可．

解答 證明：（ I）∵BC∥AD，BC?平面ADNM，AD?平面ADNM，
∴BC∥平面ADNM．
∵BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，
∴MN∥BC．
（ II）①∵M為PB的中點，PA=AB，
∴PB⊥MA．
∵∠BAD=90°，∴DA⊥AB．
∵PA⊥底面ABCD，DA?平面ABCD
∴DA⊥PA．又∵PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴DA⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，
∴PB⊥DA．
∵AM?平面ADNM，AD?平面ADNM，AM∩DA=A，
∴PB⊥平面ADNM，∵DN?平面ADNM，
∴PB⊥DN．
②由①可知PB⊥平面ADNM，
∴MP為四棱錐P-ADNM的高．
∵PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PB，PC的中點，
∴PB=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，AM=MP=$\frac{1}{2}BP$=$\sqrt{2}$．MN=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$．
∴S_梯形ADNM=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+2）×\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴V_P-ADNM=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ADNM}$•MP=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{2}}{4}×\sqrt{2}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．