Question

18．設(shè)直線l，m分別是函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-lnx，0＜x＜1\\ lnx，x＞1\end{array}$圖象上在點(diǎn)M、N處的切線，已知l與m互相垂直，且分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x），（x＞1）圖象上任意一點(diǎn)，則△PAB的面積的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$，分別求得直線l₁和l₂的斜率，由l₁與l₂垂直，即k₁•k₂=-1，求得x₁x₂=1，求得直線l₁和直線l₁的方程，由|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2，根據(jù)三角形的面積公式，△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•x，由題意可知x＞1，即可求得△PAB的面積的取值范圍．

解答 解：解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），P（x，lnx），（x＞1），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴l(xiāng)₁的斜率k₁=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，l₂的斜率k₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∵l₁與l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，
∴k₁•k₂=-1，即x₁x₂=1．
直線l₁：y=-$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁）-lnx₁，l₂：y=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）+lnx₂，
取x=0分別得到A（0，1-lnx₁），B（0，-1+lnx₂），
|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-（lnx₁+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2，
點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x），（x＞1）圖象上任意一點(diǎn)，
∴P到直線AB的距離為x（x＞1），
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•x=x＞1，
△PAB的面積的取值范圍是：（0，+∞），
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上點(diǎn)的切線方程，直線垂直的條件，三角形的面積公式及兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．