Question

2．在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，4•AB²+2•BD²=1．將此平行四邊形沿BD折成直二面角，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用折成直二面角推出AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中點O，說明外接球的球心是O，求出外接球的半徑，然后求解表面積．

解答 解：如圖，因為平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），

所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，得AB⊥BC，CD⊥AD．
取AC的中點O，則OA=OB=OC=OD．
于是外接球的球心是O，$OA=\frac{1}{2}AC$，$O{A^2}=\frac{1}{4}A{C^2}$．
而$A{C^2}=A{B^2}+B{C^2}=2A{B^2}+B{D^2}=\frac{1}{2}（4A{B^2}+2B{D^2}）=\frac{1}{2}$．
所以半徑$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．于是外接球的表面積為S=4π•OA²=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷外接球的球心是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．