Question

16．已知函數(shù)f （x）=$\frac{1-x}{e^x}$．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)和極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求解斜率，利用點(diǎn)斜式求解在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）利用方程的解求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，通過導(dǎo)函數(shù)為0以及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，求解函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$，f'（0）=-2．
因?yàn)閒（0）=1，所以曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．…6分
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{1-x}{e^x}=0$，解得x=1，所以f（x）的零點(diǎn)為x=1．
由$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}=0$解得x=2，
則f'（x）及f（x）的情況如下：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值$-\frac{1}{e^2}$	↗

…所以函數(shù)f（x）在x=2時(shí)，取得極小值$-\frac{1}{e^2}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．