Question

14．已知各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前5項和S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為（　�。�

• A． $\frac{n}{2（n+2）}$
• B． $\frac{n}{2（n+1）}$
• C． $\frac{2n}{n+2}$
• D． $\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)S₅=5a₃，a₃²=a₁•a₇，根據(jù)等差數(shù)列通項公式（a₃-2d）（a₃+4d）=16，求的d和a₁，即可求得a_n，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
運用裂項相消求和，求得T_n．

解答 解：由等差數(shù)列通項公式S₅=5a₃，
∴5a₃=20，即a₃=4，
a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，a₃²=a₁•a₇，
∴a₁•a₇=16，
即（a₃-2d）（a₃+4d）=16，即解得：（4-2d）（4+4d）=16，
整理得：d²-d=0，解得d=1或d=0（舍去），
由：a₃=a₁+（3-1）d，解得：a₁=2，
∴a_n=2+n-1=n+1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和Sn=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
=$\frac{n}{2（n+2）}$，
故答案選：A．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法，利用“裂項法”求前n項和，屬于中檔題．