Question

17．已知 f（x）=$\frac{x}{2x+1}$（x＞0），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，則 f_s（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值是$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 易知f（x）=$\frac{x}{2x+1}$在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，且f（x）＞0；從而依次代入化簡(jiǎn)即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{2x+1}$在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，且f（x）＞0；
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上遞增，
故f₁（x）_min=$\frac{1}{4}$，
f₂（x）_min=f（f₁（x）_min）=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{6}$，
f₃（x）_min=f（f₂（x）_min）=f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{8}$，
f₄（x）_min=f（f₃（x）_min）=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{10}$，
f₅（x）_min=f（f₄（x）_min）=f（$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{12}$．
故答案為：$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，主要是單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查整體思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．