Question

已知f（x）=

|x|

ex

（x∈R），若關(guān)于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A、（

  1

  e

  ，2）∪（2，e）
• B、（

  1

  e

  ，1）
• C、（1，

  1

  e

  +1）
• D、（

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)m=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：化簡可得f（x）=

|x|

ex

=

x ex ，x≥0 - x ex ，x＜0

，
當x≥0時，f′（x）=

1-x

ex

，
當0≤x＜1時，f′（x）＞0，當x≥1時，f′（x）≤0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當x＜0時，f′（x）=

x-1

ex

＜0，f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

|x|

ex

在（0，+∞）上有一個最大值為f（1）=

1

e

，作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：
設(shè)m=f（x），當m＞

1

e

時，方程m=f（x）有1個解，
當m=

1

e

時，方程m=f（x）有2個解，
當0＜m＜

1

e

時，方程m=f（x）有3個解，
當m=0時，方程m=f（x），有1個解，
當m＜0時，方程m=f（x）有0個解，
則方程f²（x）-tf（x）+t-1=0等價為m²-tm+t-1=0，
要使關(guān)于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，
等價為方程m²-tm+t-1=0有兩個不同的根m₁＞

1

e

且0＜m₂＜

1

e

，
設(shè)g（m）=m²-tm+t-1，
則

g(0)=t-1＞0 g( 1 e )= 1 e2 - t e +t-1＜0 - -t 2 ＞0

，即

t＞1 t＜ e+1 e =1+ 1 e t＞0

，
解得1＜t＜1+

1

e

，
故選：C

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．