Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2 an（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．從而能求出a_n=n+1．
（2）由a_n=n+1，b_n+1＞b_n恒成立，得3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，從而（-1）^n-1λb_n．

解答： （本題滿(mǎn)分12分）
解：（1）由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），…（2分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=n+1．…（4分）
（2）∵a_n=n+1，
∴bn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，
要使b_n+1＞b_n恒成立，
∴b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．…（6分）
（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值為1，
∴λ＜1．…（8分）
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2，…（10分）
即-2＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．