Question

19．若關(guān)于x的方程x³-3x+m=0在$[{0，\frac{3}{2}}]$上有根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，2]
• B． [0，2]
• C． [-2，0]
• D． $[{\frac{9}{8}，2}]$

Answer 1

分析 分離參數(shù)m=-x³+3x，記f（x）=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，要使原方程有解，則m∈[f（x）_min，f（x）_max]．

解答 解：分離參數(shù)m得，m=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
記f（x）=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
要使原方程有解，則m∈[f（x）_min，f（x）_max]，
令f'（x）=-3x²+3=0，解得x=±1，分析可知，
函數(shù)f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，（-1，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x∈[0，$\frac{3}{2}$]時(shí)，f（x）先增后減，在x=1取得最大值，即：
f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min=min{f（0），f（$\frac{3}{2}$）}=0，
因此，m∈[$\frac{3}{2}$，2]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間和最值，以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的判斷，屬于中檔題．