Question

9．已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是A（1，$\frac{6}{5}$），B（sinα，cosα），C（0，$\frac{1}{5}$）其中α∈（-π，0），請問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示與共線定理，列出不等式組，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求出λ的值．

解答 解：∵A（1，$\frac{6}{5}$），B（sinα，cosα），C（0，$\frac{1}{5}$），其中α∈（-π，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（sinα-1，cosα-$\frac{6}{5}$），
$\overrightarrow{CA}$=（1，1）；
若$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$，則$\left\{\begin{array}{l}{sinα-1=λ}\\{cosα-\frac{6}{5}=λ}\end{array}\right.$；
即sinα-cosα=-$\frac{1}{5}$，
又sin²α+cos²α=1，
∴解得sinα=-$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴λ=-$\frac{9}{5}$．
即存在λ=-$\frac{9}{5}$，使$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與共線定理的應(yīng)用問題，也考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．