Question

1．已知函數f（x）=|x+a|+|x-3|（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函數f（x）的最小值為5，求a的值．
（Ⅲ）若當a=2時，關于實數x的不等式f（x）≥t²-$\frac{1}{2}$t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，去掉絕對值，解關于x的不等式，取并集即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質得到|a+3|=5，解出即可；
（Ⅲ）求出f（x）的最小值，得到關于t的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，不等式f（x）≥x+8可化為：
|x+1|+|x-3|≥x+8．
x＜-1時，有-（x+1）-（x-3）≥x+8，解得：x≤-2，
-1≤x≤3時，有（x+1）-（x-3）≥x+8，解得：x≤-4，不合題意，
x＞3時，有（x+1）+（x-3）≥x+8，解得：x≥10，
綜上，x≤-2或x≥10，
故不等式的解集是（-∞，-2]∪[10，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x-3|≥|x+a-x+3|=|a+3|，
令|a+3|=5，解得：a=2或a=-8；
（Ⅲ）當a=2時，f（x）=|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5，
從而t²-$\frac{1}{2}$t≤5⇒2t²-t-10≤0，
解得：-2≤t≤$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的幾何意義以及分類討論思想，是一道中檔題．