Question

【題目】某港灣的平面示意圖如圖所示，、、分別是海岸線、上的三個集鎮(zhèn)，位于的正南方向處，位于的北偏東方向處.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)的交通壓力，擬在海岸線、上分別修建碼頭、，開辟水上航線，勘測時發(fā)現(xiàn)：以為圓心，為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行.

（1）能否求出集鎮(zhèn)、間的直線距離？

（2）根據(jù)勘測要求，要使、之間的直線航線最短，直線與圓應(yīng)滿足什么關(guān)系？

（3）應(yīng)怎樣確定碼頭、的位置，才能使得、之間的直線航線最短？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與圓應(yīng)該相切；（3）碼頭、與集鎮(zhèn)的距離均為時，、之間的直線航線最短.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理可求出的長度；

（2）要使、之間的直線航線最短，又使得航線不能經(jīng)過淺水區(qū)，進(jìn)而可得知直線與圓的位置關(guān)系；

（3）設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，連接，設(shè)，，，根據(jù)的面積得到等式，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，利用等號成立的條件求出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.

（1）在中，，，，

根據(jù)余弦定理得，所以，故集鎮(zhèn)、間的直線距離為；

（2）要使、之間的直線航線最短，又使得航線不能經(jīng)過淺水區(qū)，則直線與圓應(yīng)該相切；

（3）設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，連接，則.

設(shè)，，，

在中，由，

得，即，

由余弦定理，得，

所以，解得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，

所以碼頭、與集鎮(zhèn)的距離均為時，、之間的直線航線最短，最短距離為.