Question

某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運土最省工．

 

 

Answer 1

運土時將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工．

【解析】

試題分析：首先抽象為數(shù)學問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠．

顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設M是分界線上的任意一點．則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|．于是|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=150﹣100=50．從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì)：點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程．

【解析】
以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy，設M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點，則

|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

∴|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=50．

在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．

由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設此雙曲線方程為﹣=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，

解之得a2=625，b2=3750．

∴M點軌跡是﹣=1（x≥25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線�。�

于是運土時將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工．