【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,曲線 的極坐標方程是 ,以極點為原點 ,極軸為 軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系 中,曲線 的參數(shù)方程為: 為參數(shù)).
(1)求曲線 的直角坐標方程與曲線 的普通方程;
(2)將曲線 經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線 ,若 分別是曲線 和曲線 上的動點,求 的最小值.

【答案】
(1)

的極坐標方程是 ,∴ ,整理得 ,∴ 的直角坐標方程為 .

曲線 : ,∴ ,故 的普通方程為 .


(2)

將曲線 經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線 的方程為 ,則曲線 的參數(shù)方程為 為參數(shù)).設(shè) ,則點N到曲線 的距離為 其中 .

時,d有最小值 ,所以|MN|的最小值為 .


【解析】本題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關(guān)知識,涉及極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化等基礎(chǔ)知識,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、基本運算能力,方程思想與數(shù)形結(jié)合思想.

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