Question

18．設f（x）=ax³+3ax²+1，g（x）=e^x（e=2.71828…是自然對數的底數），f′（x）是f（x）的導數．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a＜0時，若函數f′（x）與g（x）的圖象都與直線l相切于點P（x₀，y₀），求實數x₀的值；
（Ⅲ）求證：當a≤-1時，函數f（x）與g（x）的圖象在（-2，0）上有公共點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a＞0時，求出f（x）的導數，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數f′（x）與g（x）的導數，由題意可得f″（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），解方程即可得到所求值；
（Ⅲ）求出f（x）的導數，顯然f（0）=g（0），當-2＜x＜0時，f（x）遞增，且f（-2）=1-4a＜0，求得f（-$\frac{1}{2}$）-g（-$\frac{1}{2}$）＜0，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）當a＞0時，f（x）=ax³+3ax²+1的導數為：
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2），
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2；由f′（x）＜0，可得-2＜x＜0．
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（0，+∞）；減區(qū)間為（-2，0）；
（Ⅱ）f′（x）=3ax（x+2），g′（x）=e^x，
由題意可得f″（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），
即為6a（x₀+1）=e${\;}^{{x}_{0}}$，3ax₀（x₀+2）=e${\;}^{{x}_{0}}$，（a＜0），
解得x₀=-$\sqrt{2}$（正的舍去）；
（Ⅲ）證明：f（x）=ax³+3ax²+1，g（x）=e^x，
顯然f（0）=g（0）=1，
f（x）的導數為f′（x）=3ax（x+2），a≤-1，
當x＞0時，f（x）遞減，g（x）遞增；
當-2＜x＜0時，f（x）遞增，且f（-2）=1-4a＜0，
由f（-$\frac{1}{2}$）-g（-$\frac{1}{2}$）=1+$\frac{5}{8}$a-e${\;}^{-\frac{1}{2}}$≤1-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{\sqrt{e}}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜0，
當a無限趨向于-∞?時，f（x）與g（x）的圖象的交點趨向于點（0，1）．
即有當a≤-1時，函數f（x）與g（x）的圖象在（-2，0）上有公共點．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間，考查函數圖象的交點問題的解法，注意運用函數的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．