Question

已知f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求f（x）定義域
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的定義域及其求法,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得2x+3-x²＞0，從而求定義域；
（2）令u=2x+3-x²，則y=log₄u；從而由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷；
（3）由f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間求m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵2x+3-x²＞0，
∴-1＜x＜3；
故f（x）的定義域?yàn)椋?1，3）；
（2）令u=2x+3-x²，則y=log₄u；
∵y=log₄u是增函數(shù)，
∴f（x）=log₄（2x+3-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1）；
（3）∵f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
又∵f（x）=log₄（2x+3-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[1，3]；
∴f（x）_min=f（1）=1；
∴m的取值范圍是{m|m＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．