Question

19．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)
（1）求證：AB⊥面BEF；
（2）設(shè)PA=h，若二面角E-BD-C大于45°，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB⊥面BEF．
（2）求出面BCD的法向量和面DE的法向量，利用向量法能求出h的取值范圍．

解答 證明：（1）以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，
以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），

E（1，1，$\frac{h}{2}$），F(xiàn)（1，2，0），
$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CD}$=0，
∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．
∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF．

解：（2）設(shè)面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$，則$\overrightarrow{n}$（0，0，1），
設(shè)面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{h}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{m}=y+\frac{h}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，-$\frac{2}{h}$），
∵二面角E-BD-C大于45°，
∴cos＜$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$＞=$\frac{\frac{2}{h}}{\sqrt{5+\frac{4}{{h}^{2}}}}$＜cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由h＞0，解得h＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴h的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法同，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．