Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，S_n為其前n項(xiàng)和，滿足2S_n=3a_n-3，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₂=2，b₁₀=10，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式求得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求得首項(xiàng)和公比，得到通項(xiàng)公式；由已知求出等差數(shù)列的公差，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分組求和得答案．

解答： 解：由2S_n=3a_n-3，取n=1得，2S₁=2a₁=3a₁-3，即a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=3a_n-1-3，則2a_n=3a_n-3a_n-1，a_n=3a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
則an=3n．
在等差數(shù)列{b_n}中，由b₂=2，b₁₀=10，得d=

b10-b2

10-2

=

10-2

10-2

=1．
∴b_n=b₂+（n-2）d=2+n-2=n．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（3¹+2²+…+3ⁿ）+（1+2+…+n）
=

3(1-3n)

1-3

+

(1+n)n

2

=

3n+1-3

2

+

n2+n

2

=

3(3n-1)+n2+n

2

．
故答案為：

3(3n-1)+n2+n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．