Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+b}$的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為x-4y+1=0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的切線方程得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{{x}^{2}+2ax-b}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$，
又y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為：x-4y+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-4f（-1）+1=0}\\{f（-1）=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=0}\\{f′（-1）=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{1+b}=0}\\{-\frac{1-2a-b}{{（1+b）}^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b≠-1}\\{-4+8a+4b{=（1+b）}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$，
∴f′（x）=-$\frac{（x+3）（x-1）}{{{（x}^{2}+3）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-3＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-3，
∴f（x）在（-∞，-3）遞減，在（-3，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極小值=f（-3）=-$\frac{1}{6}$，f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道中檔題．