Question

學校為了解同學們對年段和班級管理的滿意程度，通過問卷調(diào)查了高一年的學生、高二年的學生、高三年的學生共250人，結果如下表：

	高一年的學生	高二年的學生	高三年的學生
滿意	78	y	75
不滿意	12	z	5

（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所調(diào)查的人員中抽取25人，則高二年的學生應抽取多少人？
（Ⅱ）若y≥70，z≥2，求問卷調(diào)查中同學們對年段和班級管理的滿意度不小于0.9的概率．
（注：滿意度=

滿意人數(shù)

總?cè)藬?shù)

）
（Ⅲ）若高三年級的某班級中的10個學生中有2個對年段和班級的管理不滿意，老師從這10個學生中隨機選擇2個學生進行問卷調(diào)查，求這2個學生中對年段和班級的管理不滿意的人數(shù)ξ的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知得高二年的學生人數(shù)為：250-80-90=80，由此利用分層抽樣性質(zhì)能求出高二年的學生應抽取的人數(shù)．
（II）由y≥70，z≥2，且y+z=80，得基本事件共有9組，滿足條件的基本事件共有7組，由此能求出問卷調(diào)查中同學們對年段和班級管理的滿意度不小于0.9的概率．
（III）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出這2個學生中對年段和班級的管理不滿意的人數(shù)ξ的期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵高三年的學生人數(shù)為80，高一年的學生人數(shù)90，
∴高二年的學生人數(shù)為：250-80-90=80，…（1分）
∴由分層抽樣性質(zhì)得高二年的學生應抽取25×

80

250

=8人．…（3分）
（II）由y≥70，z≥2，且y+z=80，
則基本事件（y，z）為（70，10），（71，9），（72，8），（73，7），
（74，6），（75，5），（76，4），（77，3），（78，2）．共有9組．…（5分）
由

75+y+78

250

≥0.9，得y≥72，所以滿足條件的基本事件共有7組，…（7分）
故所求的概率P=

7

9

．…（9分）
（III）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=

C 2 8

C 2 10

=

28

45

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 1 2

C 2 10

=

16

45

，
P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

，
∴Eξ=0×

28

45

+1×

16

45

+2×

1

45

=

2

5

（13分）

點評：本題考查分層抽樣的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．