Question

為了迎接2011西安世園會(huì)，某校響應(yīng)號召組織學(xué)生成立了“校園文藝隊(duì)”．已知每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，其中會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P（ξ＞0）=

7

10

．
（1）求文藝隊(duì)的人數(shù)；        
（2）求ξ的分布列并計(jì)算Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人．由已知得

C 2 7-2x

C 2 7-x

=

3

10

，由此能求出文娛隊(duì)共有5人．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，
那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人．
∵P(ξ＞0)=1-P(ξ=0)=

7

10

，
∴P(ξ=0)=

3

10

，即

C 2 7-2x

C 2 7-x

=

3

10

，
∴

(7-2x)(6-2x)

(7-x)(6-x)

=

3

10

，
解得x=2．故文娛隊(duì)共有5人．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=

3

10

，P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 3

C 2 5

=

3

5

，P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	3 10	3 5	1 10

∴Eξ=0×

3

10

+1×

3

5

+2×

1

10

=

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．