Question

3．設(shè)方程2^x|lnx|=1有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁和x₂，則（　�。�

• A． x₁x₂＜0
• B． x₁x₂=1
• C． x₁x₂＞1
• D． 0＜x₁x₂＜1

Answer 1

分析 由題意可得y=|lnx|和y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖可得設(shè)0＜x₁＜1，x₂＞1，求得ln（x₁x₂）的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：方程2^x|lnx|=1有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁和x₂，
即為y=|lnx|和y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖可得設(shè)0＜x₁＜1，x₂＞1，
由ln（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂=-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
由0＜x₁＜1，x₂＞1，可得2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+x₂＞0，
即為ln（x₁x₂）＜0，即有0＜x₁x₂＜1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．