Question

8．已知函數(shù)F（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$f（x）（x≠0）是偶函數(shù)，且f（x）不恒等于零，則f（x）（　�。�

• A． 是奇函數(shù)
• B． 是偶函數(shù)
• C． 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
• D． 是非奇非偶函數(shù)

Answer 1

分析 可令g（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$，運(yùn)用奇偶性的定義，判斷g（x）為奇函數(shù)，再由奇函數(shù)乘奇函數(shù)為偶函數(shù)，即可得到f（x）的奇偶性．

解答 解：可令g（x）=$\frac{{3}^{x}cos4x}{{9}^{x}-1}$，即為g（x）=$\frac{cos4x}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$，
由g（-x）=$\frac{cos（-4x）}{{3}^{-x}-{3}^{x}}$=-$\frac{cos4x}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$=-g（x），
可得g（x）為奇函數(shù)，
由F（x）=g（x）•f（x）（x≠0）是偶函數(shù)，
可得f（x）為奇函數(shù)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運(yùn)用奇偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要是奇函數(shù)乘奇函數(shù)為偶函數(shù)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．