Question

19．已知f（x），g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，且對?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，命題P₁：若f（x）為偶函數(shù)，則g（x）也為偶函數(shù)；命題P₂：若x≠0時，x•f′（x）＞0在R上恒成立，則f（x）+g（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則下列命題正確的是（　　）

• A． P₁∧（￢P₂）
• B． （￢P₁）∧P₂
• C． （￢P₁）∧￢P₂
• D． P₁∧P₂

Answer 1

分析 分別求出命題P₁、命題P₂的真假，從而求出復(fù)合命題的真假即可．

解答 解：令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴不等式|f（x₁）-f（-x₁）|≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（-x₁）=0，
∴不等式0≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，又|g（x₁）-g（-x₁）|≥0，
∴g（x₁）-g（-x₁）=0，∴g（-x₁）=g（x₁），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，故命題命題P₁是真命題；
若x≠0時，x•f′（x）＞0在R上恒成立，
則f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
設(shè)x₁＜x₂，x＞0時，
∴f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
x＜0時，h（x₁）-h（x₂）＞0，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故命題P₂是假命題；
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性，考查復(fù)合命題的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題