Question

18．已知拋物線方程為y²=4x，直線l的方程為x-y+2=0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到l的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{3}-2$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線x-y+2=0的垂線，此時(shí)d₁+d₂最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：如圖，過點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，作PB⊥y軸于點(diǎn)B，PB的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線x=-1于點(diǎn)C，
連接PF，根據(jù)拋物線的定義得PA+PC=PA+PF，
∵P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線l的距離為d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1，
根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF有最小值，
∵F（1，0）到直線l：x-y+2=0的距離為$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴PA+PF的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．